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흔히 상대론적 운동량 공식으로 $ p= \gamma mv $ 식이 흔히 알려져 있다.고전역학에서 $ p=mv $ 식에서 속도에 의존하는 $ \gamma $가 추가로 곱해지게 된다.$$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c}{)}^2}}$$ 그렇다면 고전역학을 관통하는 식인 $F=ma$는 상대론에서 어떻게 표현될까? 결론부터 얘기하자면 $ \gamma^3 $ 이라는 인자가 곱해져 $F=\gamma^3 ma$가 된다.수학적으로 계산해보자. 너무나도 당연하게 $F=ma$라는 식을 쓰지만 정확한 식은 $ F=\frac{dp}{dt} $이다. 이때 질량 $m$이 일반적으로 변하지 않는 상황이기 때문에 $F=ma$가 알려지게 된 것..

일반물리학에 나오는 회전 운동 단원을 처음 공부할 때 가장 착각하기 쉬운 것 중 하나는 굴림 운동(rolling motion)을 할 때 반드시 마찰력이 필요하다 고 생각하는 것이다. 흔히 마찰력이 없다면 회전운동을 하지 않고 병진운동만 할 것이라고 생각하게 된다. 그러나 굴림 운동에서 마찰력이 필수적인 것은 아니다. 다음의 예시를 살펴보자. 상황 1. 평면을 구르는 공 우선 마찰이 있는 평면에서 구르고 있는 물체를 떠올려보자. 평면에서 에너지가 손실되지 않는다고 가정한다면, 각속도 $w$는 변하지 않으므로 마찰력은 작용하고 있지 않다. $$Rf=\tau =I\alpha =I\frac{dw}{dt}$$ 만약 마찰력이 어느 방향으로라도 있었다면, 위 식에서 보는 것과 같이 각속도는 반드시 변화..

사탕줍기2 문제는 격자판의 크기 N이 충분히 작아서 다음 코드와 같이 백트래킹으로 풀린다. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 #include using namespace std; int a[10][10], used[10], n, mx; void f(int cur, int sum) { if (cur == n) { if (mx n; for (int i = 0; i a[i][j]; f(0, 0); cout

절대수렴급수의 재배열정리(The Rearrangement Theorem for Absolutely Convergent Series)는 다음을 말한다. 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$이 절대수렴하고 수열 $b_1, b_2, \cdots, b_n, \cdots$를 수열 $\{a_n\}$의 재배열이라 할 때, 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$은 절대수렴하여 다음이 성립한다. $$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$$ 엡실론 델타를 이용해 이 정리를 증명해보자. $pf)$ $$ let \ \ \ s_n = \sum_{i=1}^{n} a_i ,\ \ \ L=\sum_{n=1}^{\infty}a_n, \ \ \ t_m = \..

선택 알고리즘을 C++로 구현해보자. 선택 알고리즘이란, 배열 $ A=[p \dotsb r] $ 에서 $i$번째 작은 원소를 찾는 알고리즘이다. 평균적으로 선형 시간이 소요되는 알고리즘과, 최악의 경우에도 선형 시간이 보장되는 알고리즘 두 가지가 있다. (출처: 문병로, 쉽게 배우는 알고리즘, 한빛아카데미) 다음 코드는 평균적으로 선형 시간이 소요되는 알고리즘이다. 퀵 정렬과 굉장히 유사한 방식이다. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 #include using namespace std; int a[1000001]; int Partition(int x, int y) { int s = x, e = x, ..

정렬 알고리즘을 C++으로 구현해보자. 선택정렬 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 #include using namespace std; int a[100000]; int main() { ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); int n; cin >> n; for (int i = 0; i > a[i]; for (int i = n - 1; i > 0; i--) swap(*max_element(a, a + i + 1), a[i]); for (int i = 0; i

단진자의 주기 공식은 일반물리학 수준에서 보통 다음과 같이 배운다. $$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$ 이 공식을 유도할 때는 $ \sin \theta \simeq \theta $와 같이 $\theta$가 충분히 작다는 근사를 사용하기 때문에, 정확한 공식이 아니다. 그러나 각도를 고려한다면, 단진자의 주기는 어떻게 될까? 미적분학I에 해당하는 지식이 있다면 유도 과정을 충분히 이해할 수 있다. 먼저 두 보조정리를 증명하고 넘어가자. [Lemma 1] 뉴턴의 일반이항정리 이항급수의 테일러 전개를 할 때 필요하다. $$ $$\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{2}\\ n\end{array}\right)$$ = \frac{ (-\frac{1}{2}) (-\frac{3}{2})\dotsb (-..

같은 크기의 정사면체를 잘 겹친다면 어떤 입체도형이 만들어질까? 아래 그림과 같은 입체도형이 만들어질 것이다. 나는 왠지 깔끔한 이 입체도형이 좋아서 직접 만들어보고 싶었다. 열심히 머리를 굴려서 전개도를 생각해 냈다. 이 입체를 같은 모양의 네 부분으로 나누어 생각했다. 모서리가 1인 정사면체의 ‘한 면’ 위에 모서리가 0.5인 정사면체가 가운데 올려져 있는 입체도형 네 개로. 이 전개도는 정삼각형 6개로 이루어진 '배' 모양의 평면도형인데, 이 것 4개를 잘 배열하면 전개도를 만들 수 있다. 아래 pdf 파일에 전개도를 그려놓았다. 컬러 버전, 하얀색 버전, 그리고 설명서까지. 일러스트레이터로 간단히 그려보았다. 그리고 다음 그림을 참고하면서 종이를 잘 접으면 된다. 같은 숫자끼리 매칭되게끔! 실제로..

아두이노 학습을 목적으로 스마트팜(smart farm)을 만드는 실습을 해 보았다. 스마트팜 개발 시나리오 아두이노 UNO 보드에 모듈을 연결하여 스마트팜을 구성 가변저항을 다이얼처럼 돌려서 5등분하여 메뉴를 조절 LED와 물 펌프의 동작은 2채널 릴레이 모듈로 조절 온습도 센서: 온도 감지 / 조도 센서: 조도 감지 / 토양 수분감지 센서: 토양 습도 감지 현재 메뉴와 상태를 표시하는 LCD: 16×2 디스플레이 모듈 메뉴 활동 4 물 펌프 동작 LCD에 ‘Pump ON’ 표시, 물 펌프 동작 3 LED 동작 LCD에 ‘LED ON’ 표시, LED 동작 2 온도 LCD에 현재 온도 표시 1 토양 습도 LCD에 현재 토양 습도 표시 0 AUTO 토양 습도와 온도 LCD에 표시. 습도가 낮으면 물펌프 작동..

고등학교 수학 선택과목인 「미적분」에 나오는 삼각함수와 극한과 미분 공식+α 를 정리했다. 내가 잘 까먹는 공식을 중심으로 정리했기 때문에 모든 공식이 담겨 있지는 않다. 무단 전재 및 재배포 금지 여기서 플러스 알파란, 다음을 말한다. 바이어 슈트라스 치환 공식 삼각함수의 세배각 공식 삼각함수 곱을 합으로, 합을 곱으로 모두 유용하게 쓰이니 반드시 알아두자. 어떤 공식에서 유도될 수 있는 공식인 경우, '특히 ~일 때'로 표기하였다. 그러나 이 중 일부는 역으로 유도할 수 있음에 유의해야 한다. 예를 들어 몫의 미분법의 경우 {f/g}'을 자체적으로 유도할 수 있지만, 일반적으로 {1/g}'을 유도한 후 곱의 미분법으로 유도한다. 공부하면서 까먹은 공식을 바로바로 찾아보는 용도로 적합하다. 하지만 이걸..