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뉴턴 역학을 공부할 때 반드시 만나게 되는 도르래 문제.$ F=ma $라는 기본적인 식만 쓰면 되지만, 나도 처음 물리를 공부할 때 어려움을 겪었던 기억이 있다.이 글에서는 도르래 문제를 풀 때 아무도 알려주지 않았던 개념과 테크닉을 소개하여 도르래를 더 잘 이해하고, 문제를 쉽게 접근하는 데 도움이 되고자 한다. 줄과 도르래의 질량을 무시하는 이유도르래 문제를 풀 때, 흔히 줄과 도르래의 질량을 무시한다는 서술이 붙는다. 별 생각없이 문구를 가볍게 생각하기 쉽지만, 중요한 물리적 의미가 있다.먼저 줄의 질량을 무시한다는 것은 무엇일까? 줄은 힘의 방향을 바꿔줄 뿐이라는 의미가 있다. $ F=ma $라는 식에서 생각해보면, $ m=0 $이므로 $F_{net}=0$이다. 그러므로 연결된 줄에서 장력은 일정..

자연수의 분할 $p(n,k)$란? 자연수 $n$을 $k$개의 자연수로 분할하는 방법의 수를 $ p(n,k) $ 라고 한다. 자연수의 분할에서 순서는 구별하지 않는데, 예를 들어 $$6=4+1+1=3+2+1=2+2+2$$이므로 $p(6.3)=3$이 된다. 공-상자 이론으로 설명해보면, $p(n,k)$는 구별되지 않는 $n$개의 공을 구별되지 않는 $k$개의 상자에 담을 때 빈 상자가 없도록 담는 경우의 수와 같다. 자연수의 분할 공식 자연수의 분할에는 많은 공식이 있다. 그 중 직접적으로 $p(n,k)$를 구하는 공식을 살펴보면, 다음과 같다. $$p(n,1)=1$$ $$p(n,2)=\lfloor \frac{n}{2}\rfloor$$ $$ p(n,3)=\left\{ \fra..

pyautogui라는 라이브러리로 마우스와 키보드를 자동화하는 간단한 매크로를 만들 수 있다. 보통 '매크로'하면 python의 Selenium 라이브러리를 떠올린다. Selenium 만큼 효과적인 웹 매크로는 아니다. pyautogui는 마우스를 모니터의 좌표 기준으로 움직이기 때문에, 다른 컴퓨터에서 똑같이 작동하지 않는다는 한계가 있다. 그러나 셀레니움처럼 HTML을 확인하는 일 없이 간단하게 제작할 수 있다. 여건이 된다면 수강신청 같은 걸 할 때 요긴하게 쓸 수 있다. 설치 우선 pyautogui를 설치해야 한다. python 터미널에 다음과 같이 입력해보자. pip install pyautogui 또한 time 라이브러리의 sleep 함수도 중요하게 쓰인다. time 라이브러리는 python ..

흔히 상대론적 운동량 공식으로 $ p= \gamma mv $ 식이 흔히 알려져 있다.고전역학에서 $ p=mv $ 식에서 속도에 의존하는 $ \gamma $가 추가로 곱해지게 된다.$$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c}{)}^2}}$$ 그렇다면 고전역학을 관통하는 식인 $F=ma$는 상대론에서 어떻게 표현될까? 결론부터 얘기하자면 $ \gamma^3 $ 이라는 인자가 곱해져 $F=\gamma^3 ma$가 된다.수학적으로 계산해보자. 너무나도 당연하게 $F=ma$라는 식을 쓰지만 정확한 식은 $ F=\frac{dp}{dt} $이다. 이때 질량 $m$이 일반적으로 변하지 않는 상황이기 때문에 $F=ma$가 알려지게 된 것..

일반물리학에 나오는 회전 운동 단원을 처음 공부할 때 가장 착각하기 쉬운 것 중 하나는 굴림 운동(rolling motion)을 할 때 반드시 마찰력이 필요하다 고 생각하는 것이다. 흔히 마찰력이 없다면 회전운동을 하지 않고 병진운동만 할 것이라고 생각하게 된다. 그러나 굴림 운동에서 마찰력이 필수적인 것은 아니다. 다음의 예시를 살펴보자. 상황 1. 평면을 구르는 공 우선 마찰이 있는 평면에서 구르고 있는 물체를 떠올려보자. 평면에서 에너지가 손실되지 않는다고 가정한다면, 각속도 $w$는 변하지 않으므로 마찰력은 작용하고 있지 않다. $$Rf=\tau =I\alpha =I\frac{dw}{dt}$$ 만약 마찰력이 어느 방향으로라도 있었다면, 위 식에서 보는 것과 같이 각속도는 반드시 변화..

사탕줍기2 문제는 격자판의 크기 N이 충분히 작아서 다음 코드와 같이 백트래킹으로 풀린다. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 #include using namespace std; int a[10][10], used[10], n, mx; void f(int cur, int sum) { if (cur == n) { if (mx n; for (int i = 0; i a[i][j]; f(0, 0); cout

절대수렴급수의 재배열정리(The Rearrangement Theorem for Absolutely Convergent Series)는 다음을 말한다. 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$이 절대수렴하고 수열 $b_1, b_2, \cdots, b_n, \cdots$를 수열 $\{a_n\}$의 재배열이라 할 때, 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$은 절대수렴하여 다음이 성립한다. $$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$$ 엡실론 델타를 이용해 이 정리를 증명해보자. $pf)$ $$ let \ \ \ s_n = \sum_{i=1}^{n} a_i ,\ \ \ L=\sum_{n=1}^{\infty}a_n, \ \ \ t_m = \..

선택 알고리즘을 C++로 구현해보자. 선택 알고리즘이란, 배열 $ A=[p \dotsb r] $ 에서 $i$번째 작은 원소를 찾는 알고리즘이다. 평균적으로 선형 시간이 소요되는 알고리즘과, 최악의 경우에도 선형 시간이 보장되는 알고리즘 두 가지가 있다. (출처: 문병로, 쉽게 배우는 알고리즘, 한빛아카데미) 다음 코드는 평균적으로 선형 시간이 소요되는 알고리즘이다. 퀵 정렬과 굉장히 유사한 방식이다. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 #include using namespace std; int a[1000001]; int Partition(int x, int y) { int s = x, e = x, ..

정렬 알고리즘을 C++으로 구현해보자. 선택정렬 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 #include using namespace std; int a[100000]; int main() { ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); int n; cin >> n; for (int i = 0; i > a[i]; for (int i = n - 1; i > 0; i--) swap(*max_element(a, a + i + 1), a[i]); for (int i = 0; i

단진자의 주기 공식은 일반물리학 수준에서 보통 다음과 같이 배운다. $$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$ 이 공식을 유도할 때는 $ \sin \theta \simeq \theta $와 같이 $\theta$가 충분히 작다는 근사를 사용하기 때문에, 정확한 공식이 아니다. 그러나 각도를 고려한다면, 단진자의 주기는 어떻게 될까? 미적분학I에 해당하는 지식이 있다면 유도 과정을 충분히 이해할 수 있다. 먼저 두 보조정리를 증명하고 넘어가자. [Lemma 1] 뉴턴의 일반이항정리 이항급수의 테일러 전개를 할 때 필요하다. $$ $$\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{2}\\ n\end{array}\right)$$ = \frac{ (-\frac{1}{2}) (-\frac{3}{2})\dotsb (-..