도르래(atwood machine) 문제의 기본

뉴턴 역학을 공부할 때 반드시 만나게 되는 도르래 문제.

$ F=ma $라는 기본적인 식만 쓰면 되지만, 나도 처음 물리를 공부할 때 어려움을 겪었던 기억이 있다.

이 글에서는 도르래 문제를 풀 때 아무도 알려주지 않았던 개념과 테크닉을 소개하여 도르래를 더 잘 이해하고, 문제를 쉽게 접근하는 데 도움이 되고자 한다.

 

줄과 도르래의 질량을 무시하는 이유

도르래 문제를 풀 때, 흔히 줄과 도르래의 질량을 무시한다는 서술이 붙는다. 별 생각없이 문구를 가볍게 생각하기 쉽지만, 중요한 물리적 의미가 있다.

먼저 줄의 질량을 무시한다는 것은 무엇일까? 줄은 힘의 방향을 바꿔줄 뿐이라는 의미가 있다. $ F=ma $라는 식에서 생각해보면, $ m=0 $이므로 $F_{net}=0$이다. 그러므로 연결된 줄에서 장력은 일정하게 유지된다.

반면 도르래의 질량을 무시하는 것은, $ \tau=I \alpha $라는 식에서 생각해보면, $m=0$이므로 $I=0$이고, 즉 $\tau_{net}=0$이 된다. 따라서 장력이 도르래에 토크를 작용할 수 있는 상황일 때, 그 벡터합은 0이어야 한다.

 

추상적이고 당연하게 느껴질 수 있으니 다음과 같은 기본적인 도르래에서 위에서 밝힌 기본적인 원리에 입각하여 장력의 값을 생각해보자. 왼쪽 장력이 $T$일 때 나머지 장력 $T_2$, $T_3$의 값을 생각해보자.

 

기본적인 도르래

먼저 $\tau_{net}=0$이므로, $T_2 = T$이다. 또한 $F_{net}=0$에서 $T_3=2T$를 얻는다. 이렇게 지금까지 당연하게 쓰는 장력의 값이 사실은 줄과 도르래의 질량을 무시하였던 부분에서 왔음을 이해해야 한다.

 

가속도의 관계 공식

다음 그림과 같은 도르래에서 각 줄의 가속도를 $a_1, a_2, a_3$라고 할 때, 다음 식이 성립한다.

방향에 주의해야 한다

$$ a_1 + a_2 = 2a_3 $$

증명은 다음과 같이 관찰자를 잡아서 간단하게 유도할 수 있다. 근본 원리는 아래쪽 줄의 길이가 일정해야 한다는 것이다.

 

증명:

관찰자에 따른 움직이는 줄

위로 $v_3$로 움직이는 관찰자 입장에서 처음의 도르래를 관찰하면, 아래에서 줄의 총 길이가 일정해야 하므로

$$ v_1-v_3=-(v_2-v_3) $$

$$ v_1+v_2=2v_3 $$

를 얻는다. 이제 양변을 시간에 대해 미분하면

$$ a_1+a_2 = 2a_3$$

라는 원하는 식을 얻는다.