상대론적 운동량과 힘

흔히 상대론적 운동량 공식으로 $ p= \gamma mv $ 식이 흔히 알려져 있다.

고전역학에서 $ p=mv $ 식에서 속도에 의존하는 $ \gamma $가 추가로 곱해지게 된다.

$$ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1- \beta ^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}} $$

 

그렇다면 고전역학을 관통하는 식인 $F=ma$는 상대론에서 어떻게 표현될까? 결론부터 얘기하자면 $ \gamma^3 $ 이라는 인자가 곱해져 $F=\gamma^3 ma$가 된다.

수학적으로 계산해보자.

 

너무나도 당연하게 $F=ma$라는 식을 쓰지만 정확한 식은 $ F=\frac{dp}{dt} $이다. 이때 질량 $m$이 일반적으로 변하지 않는 상황이기 때문에 $F=ma$가 알려지게 된 것이다. 여기서부터 시작해서 차근차근 식을 정리하다보면 된다.

 

증명

(이상하게 보인다면 새로고침 해주세요!)

$$ \begin{align} F & = \frac{dp}{dt} = \frac{dv}{dt} \cdot \frac{dp}{dv} =\frac{dv}{dt} \cdot \frac{d}{dv} \frac{mv}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}} \\[10pt] & = m \frac{dv}{dt} \cdot \frac{ \sqrt{1-(v/c)^2} + v(1-\frac{v^2}{c^2})^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{v}{c^2} }{1-(\frac{v}{c})^2} \\[10pt] & = m \frac{dv}{dt} \cdot \frac{1}{(1-\frac{v^2}{c^2})^\frac{3}{2}} \\[10pt] & = \gamma^3 m \frac{dv}{dt} = \gamma^3 ma \end{align} $$

 

타당성 검증

힘 $F$가 무한한 시간 동안 작용하고 있을 때, 속도 $v$가 광속 $c$를 넘어가지는 않는지 확인해보자.

힘 $F$가 일정하다고 가정하면, $ p=Ft=\frac{mv}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}} $  이 성립한다.

정리해보면, 다음을 얻는다.

$$ F^2 t^2 (1-\frac{v^2}{c^2})=m^2 v^2$$

$$ v=\frac{Ft}{\sqrt{m^2+\frac{F^2 t^2}{c^2}}} $$

$$ \lim _{t \rightarrow \infty} v = \lim _{t \rightarrow \infty} \frac{Ft}{\sqrt{m^2+\frac{F^2 t^2}{c^2}}} =c $$

이때 속도 $ v $는 광속 $c$로 수렴하면서, 항상 $c$보다 작은 값을 가지게 된다.

그러므로 상대론적 역학에서 모순이 없다.