마찰력이 있어야만 구를 수 있을 것이라는 착각

일반물리학에 나오는 회전 운동 단원을 처음 공부할 때 가장 착각하기 쉬운 것 중 하나는

굴림 운동(rolling motion)을 할 때 반드시 마찰력이 필요하다

 

고 생각하는 것이다. 흔히 마찰력이 없다면 회전운동을 하지 않고 병진운동만 할 것이라고 생각하게 된다.

 

그러나 굴림 운동에서 마찰력이 필수적인 것은 아니다. 다음의 예시를 살펴보자.

 

상황 1. 평면을 구르는 공

평범하게 구르는 공

우선 마찰이 있는 평면에서 구르고 있는 물체를 떠올려보자. 평면에서 에너지가 손실되지 않는다고 가정한다면, 각속도 $w$는 변하지 않으므로 마찰력은 작용하고 있지 않다.

$$ Rf = \tau = I \alpha = I \frac{dw}{dt} $$

만약 마찰력이 어느 방향으로라도 있었다면, 위 식에서 보는 것과 같이 각속도는 반드시 변화한다. 우리가 지금까지 구름 운동을 분석할 때 마찰력을 잡았던 것은 외부 힘이 있어서 각속도가 변하는 시스템이었기 때문이라는 걸 알아야 한다.

 

상황 2. 마찰면에서 매끄러운 면으로 벗어나는 경우

마찰면을 벗어나면서 구르는 공

이제 마찰이 있는 면에서 구르던 공이 마찰이 없는 면으로 넘어간다고 가정하자. 그렇다면 바로 회전운동이 멈추고 병진운동만 하겠는가? 당연히 이는 불가능하다. 회전운동에서 각속도 $ w $를 변화시키는 것은 마찰력 $ f $ 뿐이다. 다른 중력이나 수직항력과 같은 힘은 토크를 만들지 못한다. 그런데 그 마찰력이 작용하지 못하니 당연히 회전운동을 그대로 계속하게 된다.

만약 매끄러운 면이 위로 올라간다면?

심지어 마찰이 없는 면이 위로 경사져 있어 에너지 손실이 있다고 하더라도, 최고점에서 병진운동은 멈추지만 회전운동은 그대로 하고 있어야 마땅하다.

 

 

상황 3. 외력이 있을 때 특수한 경우

그렇다면 외부 힘이 있다면 반드시 마찰력이 작용하는 것일까? 그것도 아니다.

야구에 sweet-spot이라는 개념이 있다. 야구배트의 특정한 위치에 공을 맞추면 배트를 쥐고 있는 손에 들어가는 힘이 이론적으로 0이 되는데, 이 경우에도 특정한 위치에 힘을 작용시키면 마찰력이 작용하지 않는다.

 

다음과 같은 요요에서 마찰력의 방향이 어디일지 작은 반지름 $r$의 함수로서 생각해보자.

요요의 줄을 수평방향으로 당기는 중

다음 두 가지 식을 세울 수 있다.

$ \sum F = F+f = ma $
$ \sum \tau = rF-Rf=I \alpha = I \frac{a}{R} $

 

이 두 식을 연립해서 정리하면, 다음을 얻는다.

$$ f = \frac{mRr-I}{I+mR^2} = \frac{2r-R}{3R} F $$

즉 $ r>\frac{R}{2} $에서 $f>0$이고, $ r=\frac{R}{2} $에서 $f=0$이고,  $ r<\frac{R}{2} $에서 $f<0$이다.

 

이렇게 $ r=\frac{R}{2} $에서라는 특정한 위치에서 실을 잡아당기면, 마찰력이 작용하지 않게 된다.