절대수렴급수의 재배열정리 엄밀한 증명

절대수렴급수의 재배열정리(The Rearrangement Theorem for Absolutely Convergent Series)는 다음을 말한다.

급수 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$이 절대수렴하고 수열 $b_1, b_2, \cdots, b_n, \cdots$를 수열 $\{a_n\}$의 재배열이라 할 때, 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$은 절대수렴하여 다음이 성립한다.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n= \sum_{n=1}^{\infty} b_n$$

 

 

엡실론 델타를 이용해 이 정리를 증명해보자.

 

$pf)$

$$ let \ \ \ s_n = \sum_{i=1}^{n} a_i ,\ \ \ L=\sum_{n=1}^{\infty}a_n, \ \ \ t_m = \sum_{i=1}^{m}b_i$$

$\{b_n\}$이 $\{a_n\}$의 재배열 수열이므로, $\forall n \in \mathbb{N}, \ a_n=b_{f(n)}$ 이 되는 일대일 대응 $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$가 존재한다. 이제 임의의 실수 $\epsilon$이 양수라고 하자. $\\[8pt]$

$n \geq N_1$에 대하여 $\lvert s_n-L \rvert < \frac{\epsilon}{2}$이 되는 자연수 $N_1$이 존재한다. $\\[8pt]$

또한 $\sum a_n$이 절대수렴하므로 $\sum_{N_2+1}^{\infty} \lvert a_n \rvert < \frac{\epsilon}{2}$가 성립하는 자연수 $N_2$가 있다. $\\[8pt]$

$N=max(N_1,\ N_2)$라고 하고, $M=max \{f(1), \ f(2), \cdots , f(N) \} $이라고 하자. $\\[8pt]$

$m > M$인 $m$에 대하여, 다음이 성립한다.

$$ \begin{align} \lvert t_m-L \rvert & \leq \lvert t_m-s_N \rvert + \lvert s_N-L \rvert \\[10pt] & = \lvert (b_1+b_2+\cdots + b_m)-(a_1+a_2+\cdots + a_N) \rvert + \lvert s_N-L \rvert \\[10pt] & = \lvert \text{$N$보다 큰 index $j$에 대한 $a_j$들의 합} \rvert +  \lvert s_N-L \rvert \\[10pt] & \leq \text{ $N$보다 큰 index $j$에 대한 $\lvert a_j \rvert $들의 합 } +  \lvert s_N-L \rvert \\[3pt] & \leq \sum_{N_2+1}^{\infty} \lvert a_n \rvert +  \lvert s_N-L \rvert < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \end{align} $$